PROBABILITA'

PROBABILITA'

possiamo affermare che  

la probabilità di un evento è data dal rapporto che questo evento si verifichi ed il numero di tutti i possibili eventi.

Consideriamo, innanzitutto, il verificarsi di eventi incompatibili.
Un evento è incompatibile quando al verificarsi di uno non è possibile che se ne verifichi un'altro.

Ad esempio:
- vittoria di una corsa (senza ex equo): se vince un concorrente A non può essere vincente nessun altro concorrente N;
- se lancio una moneta non può verificarsi contemporaneamente che esca testa e croce;
- se lancio un dado può uscire un valore/lato per lancio

In tale caso è possibile affermare che:

- il lancio di un dado ha 6 casi possibili (uno per ogni faccia). La probabilità per ogni faccia è, quindi, pari ad 1/6
- il lancio di una moneta ha 2 casi possibili. La probabilità per ogni lato è pari ad 1/2

La probabilità totale, nel caso di eventi incompatibili, può essere calcolata come somma delle singole probabilità.

Es.
- La probabilità che esca croce al lancio di una moneta è pari a 1/2 (1 evento su 2 possibili)
- La probabilità di ottenere nel lancio di un dado un numero maggiore di 4, ossia la probabilità che esca 5 o 6 (corrispondenti a due eventi), sarà pari a:

1/6+1/6= 2/6=1/3

Consideriamo ora l'esistenza di eventi che si possono avere contemporaneamente, come il lancio di 2 dadi.
Avremo un insieme di eventi possibili per il dado A, ed un insieme di eventi possibili per il dado B.

Dalle regole statistiche sappiamo che la probabilità che si verifichino due eventi indipendenti tra di loro è data dal prodotto della probabilità che si verifichi il primo evento per la probabilità che si verifichi il secondo evento.

Es. la probabilità che si verifichi una data combinazione di numeri nel lancio di due dadi dove su ogni faccia viene rappresentata una figura diversa è data dal prodotto delle singole probabilità associate al lancio di un dado.

se 1/6 è la probabilità che esca una figura delle 6 impresse sul dado

allora

1/6*1/6= 1/36 è la probabilità associata alla combinazione delle figure (x;y)

Ipotizziamo, invece, che sulle facce di ognuno dei due dadi vi sia un valore compreso tra 1 e 6.

Rappresentiamo i possibili risultati in una matrice sui cui lati ci sono i possibili risultati del singolo dado.



E' facile intuire che il numero dei possibili risultati è 36 (più velocemente calcolato come nxn = 6x6).
La probabilità che ogni singola coppia di valori (x;y) possa uscire, però, verrà calcolata come 2\36. 


Ciò avviene considerando come il risultato del lancio (x1;y2) equivalga a (y1;x2) 
dove x1(valore del primo dado)=x2(valore del secondo dado) e y1=y2.
Avremo, quindi, due possibilità su 36che si abbia la coppia di valori (x;y).

Osservando il lato destro della matrice, infatti, ci rendiamo conto della ripetizione dei valori nei lanci.

La probabilità che esca la coppia (5;4) sarà, quindi, calcolata come la probabilità sommata dei due lanci (5;4)(4;5), ossia 2/36 = 1/18.

ATTENZIONE  La probabilità che invece esca lo stesso valore sui due dadi, ad esempio (6;6), sarà pari ad 1/36.

Ipotizziamo che un'urna contenga 3 biglie rosse e 3 biglie verdi.
Ipotizziamo due estrazioni consecutive, qual è la probabilità di estrarre una biglia rossa e poi una verde?

Costruendo una matrice in cui si considerano tutti i possibili risultati della prima e della seconda estrazione.
Si costruisce, cioè, la matrice 5x5 (R1,R2,R3,V1,V2).

Vedremo che saranno possibili 25 risultati, mentre le possibilità di estrarre la combinazione prima rossa e poi verde sono 6. (in questo caso ha rilevanza l'ordine dell'estrazione e R1V2 non è uguale a R2V1).